Зачет по теме «Начальные геометрические сведения»
Теоретическая часть
2 вариант
1. Сформулируйте определения:
1) луча; 2) середины отрезка; 3) перпендикулярных прямых; 4) смежных углов; 5) свойства вертикальных углов.
2. Вставьте пропущенное(ые) слово(а):
3. Ответьте «да» или «нет»:
1) Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
2) Длина отрезка может выражаться отрицательным числом.
3) Два смежных угла могут быть оба тупыми.
4) Если один из смежных углов равен 140 градусов, то другой равен 40 градусов.
4. Ответьте на вопросы:
1) Точка С лежит на отрезке РМ. Какая из точек С, Р, М лежит между двумя другими?
0
2) Точка С лежит на отрезке АВ. АС = 4см, АВ = 9см. Какова длина отрезка ВС?
3) Один из вертикальных углов равен 75 градусов. Чему равен другой?
4) Один из смежных углов в два раза больше другого. Чему равны эти углы?
Практическая часть
2 вариант
Решите следующие задачи.
- Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 17,5см; ВС = 11,4см. Найдите длину АС, если известно, что точка С лежит между точками А и В. Сделайте чертёж.
- Углы МВО и ОВК – смежные. ВЕ – биссектриса угла ОВК; угол МВО = 128 градусов. Найдите угол ОВЕ. Сделайте чертёж.
- Сумма трёх углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 210 градусов. Найдите каждый из образовавшихся углов. Сделайте чертёж.
Составила учитель математики высшей категории Е.В. Михайлова
Контрольная работа №4 по теме: «Сумма углов треугольника.
Соотношение между сторонами и углами треугольника»
Вариант-1
1. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140
0
.
Найти углы треугольника.
2. В треугольнике АВС угол А в 4 раза меньше угла В, а угол С на 90
0
меньше угла В.
а) Найти углы треугольника АВС.
б) Сравнить стороны АВ и ВС.
3. На рисунке:
смАСDCFАВЕ 12,76,104
00
===
. Найдите сторону АВ
треугольника АВС.
4. В треугольнике СDE точка М лежит на стороне СЕ, причём
—
острый. Докажите, что DE > DM.
Составила учитель математики высшей категории Е.В. Михайлова
Контрольная работа №4 по теме: «Сумма углов треугольника.
Соотношение между сторонами и углами треугольника»
Вариант-2
1. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 100
0
.
Найти углы треугольника.
2. В треугольнике АВС угол С в 2 раза меньше угла В, а угол В на 45
0
больше угла А.
а) Найти углы треугольника АВС.
б) Сравнить стороны АВ и АС.
3. На рисунке:
смВСDBFВАЕ 9,68,112
00
===
. Найдите сторону АС
треугольника АВС.
4. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне MN, причём
—
острый. Докажите, что КР < МР.
Составила учитель математики высшей категории Е.В. Михайлова
Контрольная работа №4 по теме: «Сумма углов треугольника.
Соотношение между сторонами и углами треугольника»
Вариант-3
1. Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 150
0
.
Найти углы треугольника.
2. В треугольнике МРТ угол М в 3 раза меньше угла Р, а угол Т на 30
0
меньше угла Р.
а) Найти углы треугольника МРТ.
б) Сравнить стороны МТ и МР.
3. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АВ, причём
—
острый. Докажите, что DС < АС.
4. На рисунке:
смВСSBNRAB 13,63,117
00
===
. Найдите сторону АС
треугольника АВС.
Зачёт по теме «Начальные геометрические сведения»
Теоретическая часть
1 вариант
1. Сформулируйте определения:
1) отрезка; 2) угла; 3) биссектрисы угла; 4) вертикальных углов; 5) свойства смежных углов.
2. Вставьте пропущенное(ые) слово(а) :
3. Ответьте «да» или «нет» :
1) Две непересекающиеся прямые могут иметь одну общую точку.
2) Величина угла может выражаться отрицательным числом .
3) Сумма двух углов, у которых одна сторона общая, равна 180 градусов. Всегда ли эти углы будут смежными?
4) Если один из вертикальных углов равен 28 градусов, то другой тоже 28 градусов.
4. Ответьте на вопросы:
1) Отрезок ХУ пересекает прямую а , а отрезок ХМ не пересекает эту прямую. Пересекает ли прямую а отрезок УМ ?
2) Луч ОВ проходит между лучами ОК и ОМ. Угол КОМ равен 120 градусов, угол КОВ равен 30 градусов. Чему равен угол МОВ?»
3) Острым, тупым или прямым будет угол, смежный с углом в 45 градусов?
4) Один из четырёх углов, получившихся при пересечении двух прямых равен 140 градусов. Чему равны остальные углы?
Практическая часть
1 вариант
Решите следующие задачи.
- Три точки С, Т, Р лежат на одной прямой. Известно, что СТ = 7,3см; ТР = 4,1см; СР = 11,4см. Может ли точка Р лежать между точками С и Т ? Сделайте чертёж. Ответ объясните.
- Углы АОВ и ВОС – смежные. ОМ – биссектриса угла АОВ; угол АОМ = 70 градусов. Найдите угол ВОС. Сделайте чертёж.
- Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 210 градусов. Найдите каждый из образовавшихся углов. Сделайте чертёж.
Контрольная работа по геометрии 7 класс №4 по теме: «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Часть 1.
1. Найдите углы равнобедренного треугольника АВС с
основанием АС, если АВС=70. В ответ запишите все номера
возможных ответов.
1)40 ;70;70 2)70;55;55 3)35;35;70 4)50;50;70
2. Какой из треугольников с заданными сторонами существует?
1)2;5;3 2)7;4;2 3)7;5;3 4)7;4;3
3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 15 см, а
другая – 7 см. Какая из приведенных величин может являться
основанием?
1)7 см; 2) 6 см; 3)15 см; 4)8 см
4. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера
верных утверждений:
А
В С
1) АВС – прямоугольный.
2) АВС – равнобедренный.
3) 1 – внешний угол треугольника АВС.
4) 2 – внешний угол треугольника АВС.
Часть 2.
5. Чему равны углы треугольников, на которые высота разбивает
равносторонний треугольник?
6. Найти углы треугольника ВОР, если АВС – равнобедренный с
основанием ВС, С = 68, ОР АС. А
О
В
В Р С
Часть 1.
1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его
углов равен 50. В ответ запишите все номера возможных
ответов.
1)50;50;80 2)50;70;70 3)65;50;65 4)55;55;70
2. Какой из треугольников с заданными сторонами существует?
1)9;10;12 2)9;10;19 3)10;8;19 4)12;8;20
3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 9 см, а
другая – 20 см. Какая из приведенных величин может являться
третьей стороной?
1)9 см; 2) 10 см; 3)20 см ; 4)18 см
4. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера
верных утверждений:
N
1) МNK – прямоугольный.
2) МNK – равнобедренный.
3) 1 – внешний угол треугольника МNK.
4) 2 – внешний угол треугольника МNK .
Часть 2.
5. ВН – высота равнобедренного прямоугольного треугольника
АВС, проведенная к гипотенузе. Найдите углы треугольника
АВН.
6. Прямая, параллельная основанию ВС равнобедренного
треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках М и
К. Найдите МАК и АКМ, если В = 52.
Геометрия 7 Иченская Контрольные работы по геометрии 7 класс с ответами (2 варианта), используются в комплекте с учебником по геометрии 7-9 классы Л.С. Атанасян и др. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Цитаты из пособия «Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 7 класс : учеб, пособие для общеобразоват. организаций / М. А. Иченская. – М. : Просвещение» использованы в учебных целях для учащихся, находящихся на семейном или домашнем обучении, а также для обучающихся дистанционно.
При постоянном использовании данных контрольных работ рекомендует купить книгу «Мира Иченская: Геометрия. 7 класс. Самостоятельные и контрольные работы к учебнику Л.С. Атанасяна. ФГОС», которая содержит кроме представленных контрольных работ — 17 самостоятельных работ и итоговый зачет из 21 карточки.
КР-1. Глава I. Начальные геометрические сведения.
Контрольная работа № 1
КР-2. Глава II. Треугольники.
Контрольная работа № 2
КР-3. Глава III. Параллельные прямые.
Контрольная работа № 3
КР-4. Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Проверяемые темы: Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Контрольная работа № 4
КР-5. Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Проверяемые темы: Прямоугольные треугольники. Построение треугольника по трём элементам.
Контрольная работа № 5
КР-6. Итоговая контрольная работа за 7 класс.
Контрольная работа № 6
Вы смотрели: Геометрия 7 Иченская Контрольные работы по геометрии 7 класс с ответами (2 варианта), используются в комплекте с учебником по геометрии 7-9 классы Л.С. Атанасян и др. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.
Контрольная работа № 4 по геометрии 7 класс с решениями и ответами по теме «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» (2 варианта) для УМК Атанасян. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Геометрия 7 Иченская Контрольная 4 + Ответы.
Тема: Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Решения и ОТВЕТЫ на КР-4 Вариант 1:
№ 1. На рисунке ∠ABE = 104°, ∠DCF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС.
Решение и ОТВЕТ:
№ 2. В треугольнике CDE точка К лежит на стороне СЕ у причём угол CKD острый. Докажите, что DE > DK.
Решение и ОТВЕТ:
№ 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны этого треугольника.
Решение и ОТВЕТ:
Решения и ОТВЕТЫ на КР-4 Вариант 2:
№ 1. На рисунке ∠BAE = 112°, ∠DBF = 68°, ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольника АВС.
Решение и ОТВЕТ:
№ 2. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне MN, причём угол NKP острый. Докажите, что КР < МР.
Решение и ОТВЕТ:
№ 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.
Решение и ОТВЕТ:
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии 7 класс с решениями и ответами по теме «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» (2 варианта) для УМК Атанасян. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Геометрия 7 Иченская Контрольная 4 + Ответы.
(с) Цитаты из пособия «Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 7 класс : учеб, пособие для общеобразоват. организаций / М. А. Иченская. – М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Контрольная работа 7 класс КА-4
Соотношение между сторонами и углами
Контрольная работа Соотношение между сторонами и углами 7 класс (по учебнику Атанасяна). Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по геометрии. Ответы на контрольные работы даны в конце статьи.
Контрольная работа рассчитаны на один урок (45 минут) и позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б — среднему уровню сложности, В — для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено два расположенных рядом равноценных варианта.
Контрольная работа по геометрии 7 класс
«КА-4. Соотношение между сторонами и углами»
Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-4.
Вариант А1.
1. В треугольнике АВС угол А в 4 раза меньше угла В, а угол С на 90° меньше угла В.
а) Найдите углы треугольника.
б) Сравните стороны АВ и ВС.
2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС внешний угол при вершине А равен 120°, АВ = 5 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике MNK точка D — середина основания МК, DA и DB — перпендикуляры к боковым сторонам. Докажите, что DA = DB.
Вариант А2
1. В треугольнике АВС угол С в 2 раза меньше угла В, а угол В на 45° больше угла А.
а) Найдите углы треугольника.
б) Сравните стороны АВ и ВС.
2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ внешний угол при вершине В равен 150°, АС + АВ -= 12 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике MNK точка D — середина основания МК, DA и DB — перпендикуляры к боковым сторонам. Докажите, что ∠ADN = ∠BDN.
Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-4. Варианты Б1 и Б2.
Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-4. Варианты В1 и В2.
КА-4. Соотношение между сторонами и углами 7 класс. ОТВЕТЫ
Вариант А1: 1а) 30°, 120°, 30°. 1б) АВ=ВС. 2) 10 см.
Вариант А2: 1а) 45°, 90°, 45°. 1б) АВ=ВС. 2) 8 см.
Вариант Б1: 1а) 50°, 20°, 110°. 1б) AD < CD. 2) 52° и 46°.
Вариант Б2: 1а) 40°, 130°, 10°. 1б) BD < CD. 2) 99° и 81°.
Вариант В1: 1а) 70°, 40°, 70°. 1б) AD
Вариант В2: 1а) 50°, 80°, 50°. 1б) AD>AB, AD>BC, AD
Вернуться на страницу «Геометрия 7 класс».
Контрольная работа 7 класс КА-4
Соотношение между сторонами и углами
Контрольная работа Соотношение между сторонами и углами 7 класс (по учебнику Атанасяна). Пособие адресовано родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения решения, а в случае необходимости помочь детям в выполнении домашней работы по геометрии. Ответы на контрольные работы даны в конце статьи.
Контрольная работа рассчитаны на один урок (45 минут) и позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б — среднему уровню сложности, В — для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено два расположенных рядом равноценных варианта.
Контрольная работа по геометрии 7 класс
«КА-4. Соотношение между сторонами и углами»
Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-4.
Вариант А1.
1. В треугольнике АВС угол А в 4 раза меньше угла В, а угол С на 90° меньше угла В.
а) Найдите углы треугольника.
б) Сравните стороны АВ и ВС.
2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС внешний угол при вершине А равен 120°, АВ = 5 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике MNK точка D — середина основания МК, DA и DB — перпендикуляры к боковым сторонам. Докажите, что DA = DB.
Вариант А2
1. В треугольнике АВС угол С в 2 раза меньше угла В, а угол В на 45° больше угла А.
а) Найдите углы треугольника.
б) Сравните стороны АВ и ВС.
2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ внешний угол при вершине В равен 150°, АС + АВ -= 12 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике MNK точка D — середина основания МК, DA и DB — перпендикуляры к боковым сторонам. Докажите, что ∠ADN = ∠BDN.
Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-4. Варианты Б1 и Б2.
Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-4. Варианты В1 и В2.
КА-4. Соотношение между сторонами и углами 7 класс. ОТВЕТЫ
Вариант А1: 1а) 30°, 120°, 30°. 1б) АВ=ВС. 2) 10 см.
Вариант А2: 1а) 45°, 90°, 45°. 1б) АВ=ВС. 2) 8 см.
Вариант Б1: 1а) 50°, 20°, 110°. 1б) AD < CD. 2) 52° и 46°.
Вариант Б2: 1а) 40°, 130°, 10°. 1б) BD < CD. 2) 99° и 81°.
Вариант В1: 1а) 70°, 40°, 70°. 1б) AD
Вариант В2: 1а) 50°, 80°, 50°. 1б) AD>AB, AD>BC, AD
Вернуться на страницу «Геометрия 7 класс».
(Самостоятельные работы по геометрии в 7 классе, любой УМК)
Геометрия 7 Самостоятельные КИМ — это самостоятельные работы (цитаты) в 2-х вариантах из пособия для учащихся «Геометрия. Контрольно-измерительные материалы. 7 класс ФГОС» (авт. Н.Ф. Гаврилова, изд-во «ВАКО»). Цитаты из указанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ): цитаты переработаны в удобный формат (каждая работа на 1-й странице), что дает экономию денежных средств учителю и образовательному учреждению в использовании бумаги и ксерокопирующего оборудования.
При постоянном использовании данных самостоятельных работ по математике в 7 классе рекомендуем купить книгу: Геометрия. Контрольно-измерительные материалы. 7 класс ФГОС / Н.Ф. Гаврилова — М.: ВАКО, в которой кроме самостоятельных работ есть еще много тестов и контрольные работы. Контрольно-измерительные материалы используются в комплекте с любым учебником по геометрии в 7 классе.
СР-01. Измерение отрезков
Самостоятельная работа № 1 + Ответы
СР-02. Измерение углов
Самостоятельная работа № 2 + Ответы
СР-03. Смежные и вертикальные углы
Самостоятельная работа № 3 + Ответы
СР-04. Первый признак равенства треугольников
Самостоятельная работа № 4 + Ответы
СР-05. Равнобедренный треугольник и его свойства
Самостоятельная работа № 5 + Ответы
СР-06. Второй признак равенства треугольника
Самостоятельная работа № 6 + Ответы
СР-07. Третий признак равенства треугольника
Самостоятельная работа № 7 + Ответы
СР-08. Задачи на построение
Самостоятельная работа № 8 + Ответы
СР-09. Признаки параллельности двух прямых
Самостоятельная работа № 9 + Ответы
СР-10. Свойства параллельных прямых
Самостоятельная работа № 10 + Ответы
СР-11. Сумма углов треугольника
Самостоятельная работа № 11 + Ответы
СР-12. Соотношение между сторонами и углами треугольника
Самостоятельная работа № 12 + Ответы
СР-13. Прямоугольные треугольники
Самостоятельная работа № 13 + Ответы
СР-14. Расстояние от точки до прямой. Построение треугольника по трем элементам
Самостоятельная работа № 14 + Ответы
Вы смотрели Геометрия 7 Самостоятельные КИМ — контрольные работы (цитаты) в 2-х вариантах из пособия для учащихся «Геометрия. Контрольно-измерительные материалы. 7 класс ФГОС» (авт. Н.Ф. Гаврилова, изд-во «ВАКО»).
Контрольная работа № 4 по геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» (для любого УМК по геометрии) с ответами. В учебных целях использованы цитаты из учебного издания «Контрольно-измерительные материалы. Геометрия 7 класс» (составитель вопросов — Н.Ф.Гаврилова, издательство ВАКО). Геометрия 7 Контрольная работа 4. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.
Тема контрольной: Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника
К-4. Вариант 1
- Найдите углы треугольника АВС, если угол А на 60° меньше угла В и в два раза меньше угла С.
- В прямоугольном треугольнике ABC (∠C= 90°) биссектрисы CD и BE пересекаются в точке О. ∠BOC = 95°. Найдите острые углы треугольника АВС.
- * Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.
К-4. Вариант 2
- Найдите углы треугольника АВС, если угол В на 40° больше угла А, угол С в пять раз больше угла А.
- В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. ∠AOC = 105°. Найдите острые углы треугольника АВС.
- * Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 60°.
ОТВЕТЫ на контрольную работу № 4
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 7 классе с ответами «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» (для любого УМК по геометрии). Геометрия 7 Контрольная работа 4. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания.
Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии в 7 классе
Контрольная работа № 4 по геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» с ответами УМК Атанасян (высокий уровень сложности). Урок 49 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 7 Атанасян К-4 Уровень 3 (сложный). Цитаты использованы в учебных целях.
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 7 классе по УМК Атанасян.
Другие уровни сложности контрольной № 4:
К-4 Уровень 1 + Решения
К-4 Уровень 2 + Решения
Контрольная работа № 4
Уровень 3 (сложный). Геометрия 7 класс
Контрольная работа по геометрии 7 класс «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» Уровень 3.
К-4 У3. Вариант 1 (транскрипт заданий)
- В треугольнике АВС угол А меньше угла В в три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найдите внутренние углы треугольника АВС.
- В треугольнике АВС угол С равен 90°, а угол В равен 70°. На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ. Найдите углы треугольника ABD.
- * Найдите сумму внутренних и сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине пятиугольника ABCDE (рис. 4.85).
К-4 У3. Вариант 2 (транскрипт заданий)
- В треугольнике АВС угол А меньше угла В на 80°, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В в два раза. Найдите внутренние углы треугольника АВС.
- В треугольнике АВС угол С равен 90°, а угол В равен 70°. На луче СВ отложен отрезок CD, равный СА. Найдите углы треугольника ABD.
- * Найдите сумму внутренних и сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине шестиугольника ABCDEF (рис. 4.86).
Геометрия 7 Атанасян К-4 Уровень 3. Решения и ответы (сложный уровень):
Ответы на Вариант 1
- Доказательство в указании к решению задач (ниже).
- ∠BAC = 20°, ∠ABC = 60°, ∠C = 100°.
- ∠ABD = 25°, ∠ADB = 135°, ∠A = 20°.
- Ответ: 360°.
Смотреть РЕШЕНИЯ заданий Варианта 1
Ответы на Вариант 2
- Доказательство в указании к решению задач (ниже).
- ∠ABC = 100°, ∠BAC = 20°, ∠C = 60°.
- ∠BAD = 25°.
- Ответ: 360°.
Смотреть РЕШЕНИЯ заданий Варианта 2
Другие уровни сложности контрольной № 4:
К-4 Уровень 1 + Решения
К-4 Уровень 2 + Ответы
Вы смотрели: Контрольная работа № 4 по геометрии в 7 классе с ответами УМК Атанасян Просвещение (высокий уровень сложности). Урок 49 поурочного планирования по геометрии. Геометрия 7 Атанасян К-4 Уровень 2 (сложный).
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 7 классе по УМК Атанасян.
В учебных целях использованы цитаты из учебного пособия «Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО», которое используется в комплекте с учебником «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
Контрольная работа по геометрии «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» с ответами и решениями (самый легкий уровень). УМК Атанасян и др. (Просвещение) 7 класс. Поурочное планирование по геометрии (Н.Ф. Гаврилова, ВАКО). Урок 49. Геометрия 7 класс Контрольная работа 4 «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» (Уровень 1). Цитаты использованы в учебных целях.
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 7 классе по УМК Атанасян.
Другие уровни сложности контрольной № 4:
К-4 Уровень 2 + Решения
К-4 Уровень 3 + Решения
Геометрия 7. Контрольная № 4 (уровень 1)
«Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника»
Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.
ХОД УРОКА
Организационный момент
Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.
Контрольная работа (I уровень сложности, легкий)
К-4 У1. Вариант 1
- В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол В в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С.
- В треугольнике АВС угол С равен 90°, а угол В равен 35°, CD — высота. Найдите углы треугольника ACD.
- * Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника.
К-4 У1. Вариант 2
- В треугольнике АВС угол А равен 90°, а угол С на 40° больше угла В. Найдите углы В и С.
- В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол А равен 70°, CD — биссектриса. Найдите углы треугольника BCD.
- * Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.
Рефлексия учебной деятельности
В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.
Геометрия 7 класс Контрольная работа 4
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ:
Ответы на Вариант 1
- Ответ: ∠C = 120°, ∠A = 40°, ∠B = 20°.
- (Ответ: ∠B = 10°, ∠C = 120°.
- Ответ: ∠ACD = 35°, ∠A — 55°, ∠CDA = 90°.
- Ответ: 19 см, 19 см, 7 см.
Смотреть подробное РЕШЕНИЕ заданий Варианта 1
Ответы на Вариант 2
- Ответ: ∠C = 30°, ∠A = 60°, ∠B — 90°.
- Ответ: ∠C- 25°, ∠B — 65°.
- ∠B = 20°, ∠BCD = 45°, ∠BDC = 115°.
- Ответ: 21 см, 21 см, 8 см.
Смотреть подробное РЕШЕНИЕ заданий Варианта 2
Другие уровни сложности контрольной № 4:
К-4 Уровень 2 + Решения
К-4 Уровень 3 + Решения
Вы смотрели: 7 класс Контрольная работа 4 (уровень 1). Поурочное планирование по геометрии для 7 класса (авт: Гаврилова). УМК Атанасян (Просвещение). Урок 49. Контрольная работа по теме «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника» (легкий уровень) + ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ.
Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 7 классе по УМК Атанасян.
Вернуться к Списку уроков Тематического планирования в 7 классе.
Геометрия 7 Атанасян (Мельникова) — цитаты контрольных работ в 2-х вариантах с ответами из пособия «Геометрия 7 класс. Контрольные работы по геометрии к учебнику Л.С. Атанасяна и др» (авт. Н.Б. Мельникова). Цитаты из пособия указаны в учебных целях. При постоянном использовании контрольных работ по геометрии в 7 классе рекомендуем купить книгу: Наталия Мельникова: Геометрия. 7 класс. Контрольные работы к учебнику Л.С. Атанасяна и др. ФГОС, в которой контрольные работы представлены в 4-х вариантах.
Контрольные работы по геометрии в 7 классе
Контрольная работа 1 К-1. Начальные геометрические сведения
Контрольная работа 2 К-2. Треугольники
Контрольная работа 3 К-3. Параллельные прямые
Контрольная работа 4 К-4. Соотношения в треугольнике
Контрольная работа 5 К-5. ИТОГОВАЯ за 7 класс.
Тематика контрольных работ
Каждая контрольная работа направлена на проверку усвоения материала главы учебника. Указанные ниже проверяемые элементы знаний отражают только тот материал, который изучался в данной теме. При этом, естественно, задачи тематической контрольной работы могут проверять также и усвоение сведений, изучавшихся в предыдущих темах. Так, например, в контрольной работе № 3 для решения задач нужно применять сведения о вертикальных и смежных углах, о равенстве треугольников, о свойствах равнобедренного треугольника.
Контрольная работа № 1. Начальные геометрические сведения • измерение отрезков и углов; • перпендикулярные прямые; • биссектриса угла; • смежные и вертикальные углы.
Контрольная работа № 2. Треугольники • признаки равенства треугольников; • медиана, биссектриса, высота треугольника; • свойства равнобедренного треугольника; • окружность.
Контрольная работа № 3. Параллельные прямые • свойства углов при параллельных прямых и секущей; • признаки параллельности прямых; • свойства равнобедренного треугольника; • окружность.
Контрольная работа № 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника • сумма углов треугольника; • внешний угол треугольника; • свойства прямоугольных треугольников; • признаки равенства прямоугольных треугольников.
Контрольная работа № 5 Итоговая • медиана, биссектриса, высота треугольника; • свойства и признак равнобедренного треугольника; • свойства углов при параллельных прямых и секущей; • признаки параллельности прямых; • окружность; • сумма углов треугольника.
Геометрия 7 Атанасян (Мельникова) — цитаты контрольных работ в 2-х вариантах с ответами из пособия «Геометрия 7 класс. Контрольные работы по геометрии к учебнику Л.С. Атанасяна и др» (авт. Н.Б. Мельникова). Цитаты из пособия указаны в учебных целях.
Цели урока:
- Закрепление теоретических знаний;
- Формирование логики рассуждений при решении
задач; - Формирование умения записывать решение
геометрических задач; - Рассмотрение нескольких способов решения
задач.
Ход урока.
Устная работа: игра “Блеф-клуб”.
1. Верите ли вы, что углы треугольника
могут быть равны:
а) 40°; 80°; 60°? (да, т.к. их сумма равна 180°)
б) 43°; 68°; 70°? (нет, т.к. их сумма не равна 180°)
в) 60°12`; 69°48`; 50°? (да, т.к. их сумма равна 180°)
2. Верите ли вы, что в равнобедренном
треугольнике:
а) угол при основании может быть равен
100°? (нет, т.к. сумма двух углов при основании будет
уже больше 180°)
б) угол при вершине может быть равен 100°? (да, тогда
при основании углы будут по 40°)
3. Верите ли вы, что внешний угол
треугольника может быть:
а) больше каждого из внутренних углов?
(да, если треугольник – остроугольный)
б) меньше каждого из внутренних углов? (нет, по
теореме о внешнем угле треугольника)
4. Верите ли вы, что внешний угол
треугольника может быть равен 180°? (нет, т.к.
такого треугольника не существует)
5. Верите ли вы, что в равнобедренном
треугольнике с углом при основании в 40°
основание больше боковой стороны? (да, т.к. угол
при вершине будет 100°, а значит самый большой)
6. Верите ли вы, что катет больше
гипотенузы? (нет, т.к. он лежит в прямоугольном
треугольнике напротив острого угла)
7. Верите ли вы, что из проволоки, длиной
12 см, можно согнуть равнобедренный треугольник:
а) с боковой стороной 3 см? (нет, т.к. 3 см+3
см=6 см)
б) с основанием 3 см? (да, т.к. 3 см<4.5 см+4.5 см и 4.5
см<3 см+4.5 см)
Решение задач.
Задача №1
Дано: считать с рисунка.
(АВ = ВС; <В=80°).
Найти: <А; <С.
Решение устное:
АВС
– равнобедренный (по условию) с основанием АС =>
<А = <С (по свойству)
<А + <В + <С = 180° (по теореме о сумме
углов треугольника) =>
<А = <С = 1/2 (180° — <В) = 50°
Задача №2
Дано: считать с рисунка.
(АВ = ВС;
<В=80°;
<ВАD =
Решение устное:
<А = 50° (см. решение задачи №1)
<ВАD = 1/2 <А = 25°
Задача №3
Дано: АВ=ВС;
<В=80°;
АD-биссектриса.
*Перенести условие на рисунок.
Найти: <АDС
Решение:
1-ый способ.
1. АВС –
равнобедренный (по условию) с основанием АС =>
<ВАС=<С (по свойству)
<ВАС + <С + <В = 180° (по теореме о сумме углов
треугольника) =>
< С = < ВАС = 1/2(180°- < В) = 50°
2. АD – биссектриса (по условию) => < DАС = < ВАD =
1/2 < ВАС = 25°
3. Рассмотрим АDС. <
DАС + < С + < АDС = 180° (по теореме о сумме углов
треугольника) => < АDС = 180° — (< С +
2-ой способ.
1. < C = < DFC = 50° (см. решение 1. 1-ым способом)
2. < ВАD = 25° (см. решение 2. 1-ым способом)
3. < АDС – внешний угол АВС => < АDС = < В + < ВАD (по теореме о
внешнем угле треугольника) => < АDС = 80° + 25° = 105°
Ответ: < АDС = 105°
Задача №4
Дано: <А = 75°;
<С = 35°;
ВD – биссектриса.
Доказать: ВDС –
равнобедренный.
Устно, по наводящим вопросам, находим путь
решения.
1. С помощью чего устанавливается факт
равнобедренности треугольника? (по определению:
должны быть две равные стороны; по признаку:
должны быть два равных угла)
2. С учетом условия задачи чем воспользуемся?
(признаком, т.к. даны величины углов)
3. Величина какого угла ВDС известна? (<С = 35°)
4. Величину какого угла ВDС можно найти? (
5. <АВС является углом какого треугольника? ( АВС)
6. Можно ли найти величину <АВС? (да, т.к.
известны два других угла АВС, < АВС = 70°)
7. Тогда какова величина
8. Делаем вывод об углах DВС (
9. Делаем вывод о DВС ( DВС – равнобедренный по
признаку)
Решение записывает ученик у доски.
Доказательство:
1. Рассмотрим АВС
<А + <АВС + <С = 180° (по теореме о сумме углов
треугольника) => => <АВС = 180° — (<А + <С) = 180° —
(75° + 35°) = 180° — 110° = 70°
2. ВD – биссектриса (по условию) =>
3. Рассмотрим DВС.
DВС – равнобедренный.
Что и требовалась доказать.
III. Итоги урока. Выставление оценок.
Домашнее задание: №240, №241.
Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 45. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Самостоятельная работа № 10 с ответами и подсказками к решению (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10.
Геометрия 7. Контрольные работы
Геометрия 7. Самостоятельные работы
Геометрия 7 класс. Урок 45. Самостоятельная работа № 10 (задания)
Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
I уровень сложности (легкий)
II уровень сложности (средний)
III уровень сложности (сложный)
Самостоятельная работа № 10
Указания к решению и ОТВЕТЫ
С-10. I уровень сложности (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 1)
№ 1. Найти: углы ΔАВС (рис. 4.42).
ОТВЕТ: ∠A = 80°, ∠B = 40°, ∠C = 60°.
№ 2. Внутренние углы треугольника АВС пропорциональны числам 2, 5, 8.
а) Найти: углы ΔАВС.
б) Найти: внешние углы ΔАВС.
ОТВЕТ: а) 24°, 60°, 96°; б) 156°, 120°, 84°.
№ 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. ∠A = 50°, АВ = 60°. Найти: углы ΔCBD.
ОТВЕТ: ∠CBD = 30°, ∠BDC = 80°, ∠BCD = 70°.
Вариант 2 (уровень 1)
№ 1. Найти: углы ΔАВС (рис. 4.43).
ОТВЕТ: ∠A = 30°, ∠B= 110°, ∠C= 40°.
№ 2. Внутренние углы треугольника АВС пропорциональны числам 3, 5, 7.
а) Найти: углы ΔАВС.
б) Найти: внешние углы ΔАВС.
ОТВЕТ: a) 36°, 60°, 84°; 6) 144°, 120°, 96°.
№ 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. ∠ADB = 120°, ∠B = 80°. Найти: углы ΔCBD.
ОТВЕТ: ∠CBD = 40°, ∠BDC = 60°, ∠BCD = 80°.
Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10
С-10. II уровень сложности (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 2)
№ 1. Дано: АВ = ВС (рис. 4.44). Найти: углы ΔАВС.
ОТВЕТ: ∠A = 55°, ∠C = 55°, ∠B = 70°.
№ 2. Внешний угол треугольника равен 140°, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3 : № 4. Найти: все внутренние углы треугольника.
ОТВЕТ: 60°, 80°, 40°.
№ 3. ΔАВС – равнобедренный с основанием AВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D. ∠ADB = 100°. Найти: ∠C.
ОТВЕТ: ∠C= 20°.
Вариант 2 (уровень 2)
№ 1. Дано: AВ = ВС (рис. 4.45). Найти: углы ΔАВС.
ОТВЕТ: ∠A = 40°, ∠C = 40°, ∠B = 100°.
№ 2. Один из внутренних углов треугольника в 3 раза больше другого, а внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен 100°. Найти: все внутренние углы треугольника.
ОТВЕТ: 25°, 75°, 80°.
№ 3. ΔАВС – равнобедренный с основанием AВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D. ∠C = 100°. Найти: ∠ADB.
ОТВЕТ: ∠ADB = 140°.
Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10.
С-10. III уровень сложности (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 3)
№ 1. Дано: AD = BD; BE = ЕС; ∠BDE = 80°, ∠BED = 60° (рис. 4.46). Найти: ∠ABC.
ОТВЕТ: ∠ABC = 110°.
№ 2. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если один из них на 40° меньше суммы двух других?
ОТВЕТ: 55°, 55°, 70° или 70°, 70°, 40°.
№ 3. Один из углов треугольника равен сумме двух других. Докажите, что данный треугольник – прямоугольный.
ОТВЕТ: ∠A + ∠B = ∠C, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 2∠C = 180°, ∠C = 90°.
Вариант 2 (уровень 3)
№ 1. Дано: AD = BD; BE = ЕС; ∠A = 40°, ∠C = 30° (рис. 4.46). Найти: ∠DBE.
ОТВЕТ: ∠DBE = 40°.
№ 2. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если один из них в 5 раз меньше суммы двух других?
ОТВЕТ: 75°, 75°, 30° или 30°, 30°, 120°.
№ 3. Один из углов треугольника равен разности двух других. Докажите, что данный треугольник – прямоугольный.
ОТВЕТ: ∠C = ∠A – ∠B, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠A + ∠B + (∠A – ∠B) = 180°, ∠A = 90°.
Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 45. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Самостоятельная работа № 10 с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 10. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
Геометрия 7. Поурочные планы
Геометрия 7. Самостоятельные работы
Контрольная работа по геометрии 7 класс с ответами № 4 по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» для УМК Атанасян (авт. Н.Б. Мельникова). Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Геометрия КР-4 Атанасян Ответы адресованы родителям..
Геометрия 7 класс (УМК Атанасян) Контрольная работа № 4. Задания:
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания Варианта 2
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания Варианта 3
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания Варианта 4
Геометрия КР-4 Атанасян Ответы
Задания и Ответы на ВАРИАНТ 1
№ 1. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера верных утверждений: 1) Δ АВС – прямоугольный. 2) Δ АВС – равнобедренный. 3) ∠1 – внешний угол треугольника АВС. 4) ∠2 – внешний угол треугольника АВС. ОТВЕТ: 1, 4.
№ 2. Чему равны углы треугольников, на которые высота разбивает равносторонний треугольник? ОТВЕТ: 90°, 60°, 30°.
№ 3. Докажите, что если на рисунке ∠B и ∠D прямые и AD = ВС, то ΔАВС = ΔCDA. Доказательство:
№ 5*. В треугольнике CDE стороны СЕ и DE равны, биссектрисы СМ и DH пересекаются в точке А. Докажите, что Δ DAM = Δ САН. Доказательство:
Задания и Ответы на ВАРИАНТ 2
№ 1. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера верных утверждений: 1) Δ MNK – прямоугольный. 2) Δ MNK – равнобедренный. 3) ∠1 – внешний угол треугольника MNK. 4) ∠2 – внешний угол треугольника MNK. ОТВЕТ: 2, 3.
№ 2. ВН – высота равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе. Найдите углы треугольника АВН. ОТВЕТ: 90°, 45°, 45°.
№ 3. Докажите, что если на рисунке АС и BD – перпендикуляры к прямой CD и AD = ВС, то Δ ACD = Δ BDC. Решение:
№ 4. Найдите углы R и S треугольника PRS, если ∠P = 84°, a ∠R в 4 раза меньше внешнего угла при вершине S. ОТВЕТ: ∠R = 28°, ∠S = 68°.
№ 5*. Прямая ОМ, параллельная боковой стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках О и М. Докажите, что Δ ВОМ – равнобедренный. Доказательство:
Задания и Ответы на ВАРИАНТ 3
№ 1. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера верных утверждений: 1) Δ MNK – прямоугольный. 2) Δ MNK – равнобедренный. 3) ∠1 – внешний угол треугольника MNK. 4) ∠2 – внешний угол треугольника MNK. ОТВЕТ: 2, 4.
№ 2. Чему равны углы треугольников, на которые биссектриса разбивает равносторонний треугольник? ОТВЕТ: 90°, 60°, 30°.
№ 3. Докажите, что если на рисунке углы С и D прямые и MD = КС, то Δ МКС = Δ KMD. Решение:
№ 4. В треугольнике NPT угол Р равен 88°, а угол N в 5 раз меньше внешнего угла при вершине Т. Найдите неизвестные углы треугольника. ОТВЕТ: ∠N = 22°, ∠T = 70°.
№ 5*. Треугольник BCD – равнобедренный. Прямая, параллельная основанию DB, пересекает стороны ВС и CD в точках М и К. Докажите, что СК = СМ. Доказательство:
Задания и Ответы на ВАРИАНТ 4
№ 1. Используя данные, приведенные на рисунке, укажите номера верных утверждений: 1) Δ АВС – прямоугольный. 2) Δ АВС – равнобедренный. 3) ∠1 – внешний угол треугольника АВС. 4) ∠2 – внешний угол треугольника АВС. ОТВЕТ: 1, 3.
№ 2. AM – биссектриса прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника АВС. Найдите углы треугольника АВМ. ОТВЕТ: 90°, 45°, 45°.
№ 3. Докажите, что если на рисунке DA и FB – перпендикуляры к прямой АВ, а отрезки BD и АF равны, то Δ ABD = Δ ВАF. Решение:
№ 4. Прямая, параллельная основанию ВС равнобедренного треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках М и К. Найдите ∠MAK и ∠AKM, если ∠B = 52°. ОТВЕТ: ∠AKM = 52°, ∠MAK = 76°.
№ 5*. В равнобедренном треугольнике DEC с основанием CD медианы СМ и DH пересекаются в точке А. Докажите, что треугольник DAC – также равнобедренный. Доказательство:
Контрольная работа 4 «Соотношения между сторонами и углами треугольника» по геометрии в 7 классе с ответами. Цитаты контрольной работы в 2-х вариантах из пособия «Геометрия 7 класс. Контрольные работы по геометрии к учебнику Л.С. Атанасяна и др» (авт. Н.Б. Мельникова). Цитаты из пособия указаны в учебных целях. Ответы адресованы родителям.
Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии в 7 классе.
Тест предназначен для учащихся 7-х классов, занимающихся по учебнику « Геометрия 7-9» под
редакцией Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф.. для проверки усвоения знаний по теме «Сумма углов
треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника». Тест составлен в
соответствии с требованиями ФГОС.
Тест по теме
« Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника »
1 вариант.
Ответами к заданиям № 1-3,5,7 являются цифра, число или последовательность цифр.
Если ответом является последовательность цифр, то записывайте её без пробелов и
запятых и других дополнительных символов.
1 . В треугольнике два его угла равны 42ᵒ и 54 ᵒ. Найдите величину третьего угла треугольника?
1) 56 ᵒ
2) 84 ᵒ
3) 74ᵒ
2. В треугольнике АВС ˪А=56ᵒ, ˪В=78ᵒ. Какая из сторон треугольника наименьшая ?
1) ВС
2) АС
3) АВ
4) невозможно определить.
3. Какие из следующих утверждений верны?
1) В любом треугольнике два угла- острые.
2) Существует треугольник с двумя прямыми углами.
3) Существует треугольник с двумя тупыми углами
4) Существует треугольник , сумма углов которого не равна 180ᵒ.
5) Сумма углов треугольника равна 180ᵒ.
В ответ запишите номера выбранных утверждений.
Ответ:
4. Известны два угла треугольника АВС . Найдите его третий угол, укажите вид треугольника и
заполните пропуски :
5. По рис 1,2,3 ,4 найти все углы треугольника АВС
А) 20ᵒ,70ᵒ,90ᵒ Б) 70ᵒ,70ᵒ,40 В)30ᵒ,30ᵒ,120ᵒ
1)рис 1 2) рис 2 3)рис 3
6. Укажите гипотенузу и катеты прямоугольных треугольников:
1) Треугольника АВС с прямым углом С ;
2)Треугольника DFP с прямым углом D ;
3) Треугольника KLM с прямым углом M.
7. В треугольнике АВС АС =11см, ВС= 8см. Может ли сторона АВ = 19 см?
1) да
2) нет
3) невозможно определить.
8. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине на 18 больше угла при
основании.
9. Внутренние углы треугольника относятся как 3 : 5 : 7. Чему равен наибольший из его
углов ( ответ дайте в градусах).
10.. Внешний угол треугольника равен 140ᵒ, а внутренние углы, не смежные с ним , относятся как
3:4. Найдите разность наибольшего и наименьшего углов треугольника.
Тест по теме
«Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника»
2 вариант.
Ответами к заданиям № 1-3,5,7 являются цифра, число или последовательность цифр.
Если ответом является последовательность цифр, то записывайте её без пробелов и
запятых и других дополнительных символов.
1. В треугольнике два его угла равны 48ᵒ и 126 ᵒ. Найдите величину третьего угла треугольника?
1) 16ᵒ
2)4ᵒ
3) 6ᵒ
2. В треугольнике АВС ˪А=48ᵒ, ˪В=57ᵒ. Какая из сторон треугольника наибольшая ?
1) ВС
2) СА
3) ВА
4 ) АС или АВ
3.Какие из следующих утверждений верны?
1) Против меньшей стороны лежит больший угол .
2) Против большего угла лежит большая сторона.
3) Против меньшего угла лежит большая сторона .
4) Против большей стороны лежит больший угол.
5) В прямоугольном треугольнике гипотеза больше любого катета.
В ответ запишите номера выбранных утверждений.
Ответ:
4. Известны два угла треугольника АВС . Найдите его третий угол, укажите вид треугольника и
заполните пропуски :
5. По рис 1,2,3 ,4 найти все углы треугольника АВС:
А)70ᵒ,70ᵒ,40ᵒ Б) 60ᵒ,30ᵒ,90ᵒ В)45ᵒ,115ᵒ,20ᵒ.
1)рис 3
2) рис 1 3)рис 2
6. Укажите гипотенузу и катеты прямоугольных треугольников:
1) Треугольника АВС с прямым углом В ;
2)Треугольника DFP с прямым углом F ;
3) Треугольника KLM с прямым углом L.
7. В треугольнике АВС АВ=7 см, ВС= 12 см. Может ли сторона АС = 6 см?
1) нет
2) да
3) невозможно определить.
8. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в 2 раза больше угла
при вершине.
9. Внутренние углы треугольника относятся как 2 : 5 : 8. Чему равен наименьший из его
углов ( ответ дайте в градусах).
10.. Внешний угол треугольника равен 130ᵒ, а внутренние углы, не смежные с ним , относятся как
2:3. Найдите разность наибольшего и наименьшего углов треугольника.
Инструкция к выполнению заданий.
Ответами к заданиям №1-3,5,7 являются цифра, число или последовательность цифр.
Ответы:
1 вариант
1. 2
2. 3
3. 5
4 .
Прямоугольный
равнобедренный
Остроугольный
равнобедренный
7 . 2
8. 54ᵒ,54ᵒ,72ᵒ
9 . 36ᵒ,60ᵒ,84ᵒ
10. 40ᵒ
2 вариант
1. 3
2. 1
3. 245
4 .
Прямоугольный
равнобедренный
7 . 2
8. 36ᵒ,72ᵒ,72ᵒ
9 . 24ᵒ,60ᵒ,96ᵒ
10. 128ᵒ
Зачет по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»
Теоретическая часть
2 вариант
1. Сформулируйте определения:
А) внешнего угла; Б) острого угла; В) тупоугольного треугольника; Г) гипотенузы.
2. Заполните пропуски в названиях элементов, формулировке свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников:
А) Сумма углов прямоугольного треугольника равна _________
Б) Катеты в прямоугольном треугольнике образуют _______ угол.
В) В прямоугольном треугольнике гипотенуза ________ катета.
Г) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен _________
Д) Если катет и _______________ одного прямоугольного треугольника равен катету и ________________ другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Е) В равных прямоугольных треугольниках катеты __________
Ж) Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от ______________ одной прямой до другой прямой.
3. Ответьте «да» или «нет»:
А) Два угла в треугольнике равны 60°. Этот треугольник равносторонний.
Б) В треугольнике могут быть: один угол – тупой, другой – прямой, третий – острый.
В) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Г) В равнобедренном треугольнике АВС угол А = углу В = 48°. Стороны АВ и АС в этом треугольнике будут боковыми.
Д) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20см, острый угол равен 30°. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен 10см.
Практическая часть
2 вариант
- Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к основанию, равна 12 см. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника.
- Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине.
Зачет по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника»
Теоретическая часть
1 вариант
1. Сформулируйте определения:
А) внешнего угла; Б) тупого угла; В) остроугольного треугольника; Г) катета.
2. Заполните пропуски в названиях элементов, формулировке свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников:
А) Треугольник называется прямоугольным, если у него _________
Б) Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется ____________
В) Любой катет в прямоугольном треугольнике ________ гипотенузы.
Г) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен __________
Д) Если гипотенуза и _____________ одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и ________________ другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Е) Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна ________
Ж) Расстоянием от данной точки до прямой называется длина ________, опущенного из данной точки на прямую.
3. Ответьте «да» или «нет»:
А) Два угла в треугольнике равны 45°. Этот треугольник прямоугольный.
Б) В треугольнике могут быть все углы острые.
В) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Г) В равнобедренном треугольнике АВС угол А = углу В = 56°. Сторона АС в этом треугольнике является основанием.
Д) В прямоугольном треугольнике катет равен 7см, гипотенуза – 14см. Углы в этом треугольнике равны 90°, 60°, 30°.
Практическая часть
1 вариант
- Разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 8см. Найдите гипотенузу треугольника, если один из углов прямоугольного треугольника равен 30°.
- Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании.
Соотношение отрезков и углов
Задачи на соотношение отрезков и угловых мер в рассматриваемой фигуре могут требовать либо качественный, либо количественный ответ. В первом случае следует провести определенное доказательство, опираясь на известные аксиомы и теоремы о сторонах треугольника и их следствия. Во втором же случае следует пользоваться формулами и выражениями, которые содержат тригонометрические функции. В действительности оба типа задач связаны между собой. Так, прежде чем использовать какую-либо формулу, следует доказать возможность ее применения в конкретной ситуации.
Большие и меньшие длины
Основная теорема о соотношении между элементами в рассматриваемом типе многоугольников гласит, что против большего угла лежит большая сторона. Ее доказательство провести несложно, если построить треугольник, например, тупоугольный. Из тупого провести отрезок к противоположной стороне таким образом, чтобы он образовывал новый равнобедренный треугольник внутри исходного. После этого следует воспользоваться тем свойством, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.
Следуя условию равенства углов в построенном равнобедренном треугольнике, легко показать, что против тупого всегда находится самый длинный отрезок.
Обратно эта теорема также справедлива, то есть против большей стороны треугольника лежит больший угол. Ее справедливость понятна каждому школьнику на интуитивном уровне, а доказательство заключается в переборе возможных трех вариантов соотношения между отрезками (больше, меньше, равно) и в привлечении уже доказанной теоремы.
Рассмотренные теоремы приводят к двум важным следствиям:
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следствие актуально для равносторонних и равнобедренных фигур.
- Гипотенуза в треугольнике с прямым углом является самой длинной стороной, поскольку она лежит напротив самого большого угла.
Рассмотренные теоремы и их следствия активно используются при изучении подобных фигур. Поскольку напротив равных углов двух треугольников лежат соответствующие им длины отрезков, то последние будут попарно относиться друг к другу с определенным коэффициентом подобия.
Теоремы косинусов и синусов
Количественной характеристикой соотношения сторон и углов являются знаменитые формулы, содержащие зависимость длин отрезков и угловых мер. Первая из них называется теоремой косинусов. Соответствующая формула имеет вид:
c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos©.
Здесь величины a, b, c — это длины, C — угол напротив стороны c. Формула позволяет вычислить третью сторону по известным двум другим и углу между ними. Однако, возможности выражения шире, с его помощью можно посчитать всякий внутренний угол фигуры, если известны три ее стороны.
Следующая по счету, но не по важности теорема синусов. Ее математическое выражение записывается так:
a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin©.
Эти равенства говорят о том, что отношение стороны к синусу противоположного ей угла является постоянной характеристикой конкретного треугольника. Зная связь двух углов и стороны или двух отрезков и одного угла можно рассчитать все остальные характеристики фигуры. Следует запомнить, что для любого рассматриваемого типа многоугольников однозначное вычисление всех его свойств требует знания минимум трех элементов (кроме трех углов).
Прямоугольный треугольник
Этот особый случай следует рассмотреть подробнее. Каждый школьник знает знаменитую теорему, позволяющую сравнить соответствие отрезков друг другу в этом типе фигуры. Она гласит, что сумма квадратов катетов соответствует квадрату гипотенузы, и называется пифагоровой теоремой, то есть можно записать:
c 2 = a 2 + b 2 .
Работать с прямоугольными треугольниками удобно по одной простой причине: через их геометрические параметры вводятся в математику тригонометрические функции. Последние легко использовать при вычислении сторон и углов фигуры. Например, если фигура является не только прямоугольной, но и равнобедренной, то ее катеты равны, а углы напротив них составляют по 45 °. При этом любой из катетов всегда в 2 0,5 раза меньше гипотенузы:
sin (45 °) = a/c = ½ 0,5.
Это соотношение можно получить также из теоремы Пифагора.
Другая ситуация, когда один из острых углов равен 30 °. Для лежащего напротив него катета a можно записать следующее выражение:
sin (30 °) = ½ = a/c.
Иными словами, лежащий против 30 ° катет составляет ровно половину длины гипотенузы.
Таким образом, в любом треугольнике существует прямая пропорциональность между длиной стороны и противолежащим ей углом. Для количественного решения задач по геометрии с этой фигурой следует пользоваться выражениями синусов, косинусов и теоремой Пифагора.
О многоугольнике с тремя сторонами
Соотношение углов и сторон в треугольнике интуитивно можно понять, если хорошо представлять эту фигуру. Речь идет о плоском объекте, который состоит всего из трех отрезков. Они расположены таким образом, что начало первого совпадает с концом последнего, то есть они пересекаются. Каждый отрезок представляет собой независимую сторону фигуры. Точка пересечения является вершиной, а соответствующий ей угол является внутренним.
Таким образом, два ключевых элемента образуют рассматриваемую фигуру:
- вершина;
- сторона.
И вершин, и сторон в любом треугольнике по три, поэтому его принято обозначать большими латинскими буквами, например, ABC или MNK. Малые буквы резервируют для обозначения длин сторон, например, a, b, c.
На первый взгляд может показаться, что рассматриваемый объект является несложным, и в нем нечего изучать. Действительно, он является самым простым по построению многоугольником, однако, он обладает большим количеством свойств, количественное и качественное знание которых требуют понимания многих теорем.
Существование фигуры
Пусть имеется три отрезка, и необходимо понять, возможно ли из них построить треугольник. Это можно сделать с помощью одного простого правила, которое можно сформулировать следующим образом: любая сторона треугольника всегда меньше суммы длин двух других.
Знание этого правила является очень важным и эффективным инструментом при решении задач. Например, из отрезков с условными длинами 1, 2 и 4 построить треугольник невозможно, а из 2, 3, 4 это сделать можно.
Помимо соотношения длин сторон существует также еще одна теорема, которая гласит, что во всяком треугольнике сумма его внутренних углов всегда равна 180 °. Благодаря знанию этой теоремы можно все рассматриваемые фигуры разделить на три типа:
- Остроугольные. В них все три угловые меры меньше 90 °. При этом возможны случаи взаимного их равенства, то есть каждый будет составлять 60 °. Такие треугольники называются равносторонними или правильными. Равны могут быть между собой также два угла, это будет уже равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны имеют одинаковую длину.
- Тупоугольные. Поскольку сумма составляет 180 °, то по определению в рассматриваемом многоугольнике не может быть больше одного тупого угла. Тупоугольные фигуры могут иметь либо произвольный тип, когда все их отрезки различаются, либо являться равнобедренными.
- Прямоугольные. Это специальный тип треугольников, о котором известно многое, и который разграничивает два предыдущих типа. В них один угол равен 90 °, а два других являются острыми.
Полноты ради следует сказать о вырожденных фигурах. К ним относятся такие многоугольники, у которых тупой стремится к 180 °. Несложно представить, что в этом случае два других будут обращаться в ноль, а сумма противолежащих им сторон окажется равной длине отрезка, расположенного напротив тупого угла. На плоскости вырожденный треугольник представляет отрезок, его площадь стремится к нулю.
Важные линии
Несмотря на всю простоту построения треугольника, при решении задач могут понадобиться дополнительные отрезки. Внутри фигуры существует целая гамма типов этих отрезков, наиболее важными из них являются следующие:
- Медиана — делящий на две равные по площади части исходный треугольник. Отрезок проводится из вершины к середине противоположной стороны.
- Биссектриса. Ею называют отрезок, который на две половины делит угол при произвольной вершине.
- Высота. Этот элемент проводится также из вершины, но по отношению к противоположной стороне он является перпендикуляром. Таким образом, высота делит исходную фигуру на два прямоугольных геометрических объекта, которые в общем случае между собой не равны.
- Медиатриса — это серединный перпендикуляр, то есть он сочетает свойства медианы и высоты, однако, через вершину треугольника он может не проходить. Медиатрисами пользуются при построении описанной окружности.
- Средняя линия — это отрезок, который посередине пересекает две стороны треугольника. Его длина всегда будет в два раза меньше стороны фигуры, которой он параллелен. Средняя линия приводит к созданию подобной исходной фигуры, которая в два раза меньше.
Для правильных, равнобедренных и прямоугольных треугольников некоторые из названных отрезков могут совпадать друг с другом, а также со сторонами фигуры. Например, в прямоугольном треугольнике две малые стороны (катеты) также являются высотами.
