Алгебра 7 Дорофеев КР-06

Контрольная 6 по алгебре 7 класс (УМК Дорофеев).

Алгебра 7 Дорофеев КР-06. Контрольная работа по алгебре «Свойства степени с натуральным показателем». Цитаты из пособия «Алгебра. Контрольные работы 7 класс» (авт. Л.В. Кузнецова и др.), которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 7 класс / Г.В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение». Цитаты из пособия указаны в учебных целях. При постоянном использовании контрольных рекомендуем купить указанное пособие.

Свойства степени с натуральным показателем

В контрольной работе проверяются умения:

Контрольная работа по алгебре 7 класс. КР-06.

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре 7 класс (УМК Дорофеев)

Алгебра 7 Дорофеев КР-06. Цитаты из пособия для учащихся «Алгебра. Контрольные работы 7 класс» (авт. Л.В. Кузнецова и др.), которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 7 класс / Г.В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение». Цитаты из пособия указаны в учебных целях.

Определение степени с натуральным показателем

При решении математических задач часто возникает необходимость перемножать несколько одинаковых чисел. Например, если сторона квадрата равна 5 см, то его площадь $5 cdot 5 = 25 см^2$; произведение $5 cdot 5 = 5^2$ читается «пять в квадрате». А если сторона куба равна 5 см, его объём $5 cdot 5 cdot 5 = 125 см^3$; произведение $5 cdot 5 cdot 5 = 5^3$ читается «пять в кубе».

При решении статистических или комбинаторных задач (см. п.9. Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной) количество одинаковых сомножителей может стать очень большим. Для их произведения вводится аналогичная запись:

Знак степени с натуральным показателем

$0^n = 0$

При возведении нуля в любую степень получается нуль

$a gt 0 Rightarrow a^n gt 0$

При возведении положительного числа в любую степень получается положительное число

При возведении отрицательного числа в нечётную степень получается отрицательное число; в чётную степень – положительное число.

Важное практическое следствие: $a^2 ge 0$ , $∀a in Bbb R$ — квадрат любого действительного числа – число неотрицательное.

Порядок действий в выражениях без скобок со степенью

Возводим в степень, получаем 8:12+15$cdot$9-24

Примеры

Выполните возведение в степень:

а) $3^5 = 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 = 243 $

в) $ (-0,1)^4 = (-0,1) cdot (-0,1) cdot (-0,1) cdot (-0,1) = 0,0001 $

Представьте в виде куба число:

а) $64 = 4 cdot 4 cdot 4 = 4^3 $

б)$ 0,008 = 0,2 cdot 0,2 cdot 0,2 = 0,2^3$

г)$ -729 = (-9)cdot(-9)cdot(-9) = (-9)^3$

а) $ (-4)^3 и 0$

б) $(-6,1)^3 и (-6,1)^2$

Найдите значение выражения:

а) $-4^3+(-3)^3 = -(4cdot4cdot4)+(-3)cdot(-3)cdot(-3) = -64+(-27) = -91$

б) $ 5-4cdot2^3 = 5-4cdot8 = 5-32 = -27 $

в) $ 0,3cdot2^5-0,4cdot(-0,1)^3 = 0,3cdot32-0,4cdot(-0,001) = 9,6+0,0004 = 9,6004 $

Расположите выражения по возрастанию их значений:

§ 1. Степень с целым показателем

Сформулировать определение степени а-n, где а?0 и n – натуральное число.

Дать определение степени а^0, если а ? 0.

Перечислить свойства степени с целым показателем.

Что называют записью числа в стандартном виде?

Вводные упражнения

1. Представить в виде степени (b?0): 1)a^2*a^7 2)b^10:b^4 3)(c^5)2 4)a^6b^6 5) a^8/b^8

2. Записать в стандартном виде число: 1)2400 2)38 3)56700 4)10

1. Вычислить 1)2^3+(-3)^3-(-2)^2+(-1)^5 2) (-7)^2 — (-4)^3 – З^4; 3)13*2^3-9*2^3+2^3 4) 6 (-2)^3 — 5(-2)^3 — (-2)^3.

2. Представить выражение в виде степени с натуральным показателем (2-3):

3. Представить выражение в виде степени с натуральным показателем

4. (Устно.) Вычислить: 1) 1^5; 2) 4^(-3); 3) (-10)^0; 4) (-5)^(-2); 5)(1/2)^(-4) ; 6)(3/7)^(-1)

5. Записать в виде степени с отрицательным показателем: 1) 1/ 4^5 2) 1/21^3 3) 1/x67 4) 1/a^9

6. 1)(10/3)^(-3) 2) (-9/11)^(-2) 3) (0,2)^(-4) 4)(0,5)^(-5) 5) –(-17)^(-1) 6)-(-13)^(-2)

7. 1) 3^(-1) + (-2)^(-2); 2)(2/3)^(-3)-4^(-2) 3) (0,2)^(-2) + (0,5)^(-5); 4) (-0,1)^(-3 )- (-0,2)^(-3).

8. (Устно.) Сравнить с единицей: 1) 12^(-3); 2) 21^0; 3) (0,6)^(-5); 4)(5/19)^(-4)

9. Записать без степеней с отрицательным показателем: 1)(х-у)^(-2) ; 2)(х + у)^(-3); 3) 3b^(-5)c^8; 4) 9а^3b^(-4); 5) а^(-1)b^2c^(-3); 6) а^2b^(-1)с^(-4).

10. 1) (1/7)^(-3)(1/7) 2)(-1/5)(-1/5)^(-4) 3)0,3^7*0,3^(-10) 4)17^(-5)*17^3*17

11. 1) 9^7: 9^10; 2) (0,2) ^2: (0,2)^(-2) 3)(2/13)^(-12) : (2/13)^2 4) (2/5)^3 : (2/5)^ (-1)

12. Возвести степень в степень: 1)(а^3)^(-5) 2)(b^(-2))^(-4) 3)(а^(-3))^7 4)(b^7)^(-4)

13. Возвести в степень произведение: 1) (аb^(-2))^3; 2) (а^2b^(-1))^4; 3) (2а^2)^(-6); 4) (3а^3)^(-4).

14. Выполнить действия: 1)(a^8/b^7)^(-2) 2)(m^(-4)/n^(-5))^(-3) 3)(2x^6/3y^(-4))^2 4)(-4x^(-5)y/z^3)^3

15. Вычислить значение выражения: 1) (х^2у^(-2) — 4у^(-2))* (1/y)^(-2) при х = 5, у = 6,7; 2)((a^2b^(-1))^4-a^0b^4): (a^4-b^4)/b^2 при a=2, b= -3

16. 1) 200 000^4 2) 0,0003^3 3) 4000^(-2) 4) 0,002^(-3)

17. 1)0,0000087 2)0,00000005086 3)1/125 4)1/625

18. Записать число 3*10^(-3) в виде десятичной дроби.

19. Записать число 0,00000000001 в виде степени числа 10

20. Записать число 10^(-4) в виде десятичной дроби

21. Дробь представить в виде степени и найти её значение при данном значении а: 1)a^8a^(-7)/a^(-2), a=0.8 2)a^15a^3/a^13, a=1/2

22. Вычислить: 1) ((-20)^7)^(-7): ((—20)^(-6))^8 + 2^(-2); 2) ((-17)^(-4))^(-6) : ((-17)^(-13))^(-2) –(1/17)^2.

23. Применить свойства степени и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) (1,3)^(-118) ? (1,3)^127; 2) (0,87)^(-74) : (0,87)^(-80); 3) (17/19)^(-47) : (17/19)^(-51) 4)(23/21)^56 ?(23/21)^(-52)

24. Вычислить на микрокалькуляторе и записать результат в стандартном виде: 1) (786^(-7))^4 : (786^5)^(-6); 2) (923^3)^(-6) • (923^5)^4; 3) (1,76)^2-35^2; 4) 47^3 : (2,5)^3.

25. С помощью микрокалькулятора вычислить объём куба, длина ребра которого равна: 1) 1,54 ? 10^(-4) мм; 2) 3,18 ? 10^ 5 км.

26. Упростить: 1)(а^(-3) + b^(-3)) • (а^(-2) – b^(-2))^(-1) • (а^(-2) – а^(-1)b^(-1) + b^(-2))^(-1); 2)(a^(-2)b – ab^(-2)) ? (а^(-2) + а^(-1)b^(-1) + b^(-2))^(-1).

Математика – точная наука, и математический язык приветствует употребление более кратких записей.

Вместо записи 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, математик использует запись 5 · 6, потому что у нас шесть одинаковых слагаемых.

А запись 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 математик заменит записью 56, потому что шесть одинаковых множителей.  Конечно, при необходимости можно использовать обратные записи.

Мы знаем, что 76 есть произведение шести множителей, каждый из которых равен 7:

76 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7.

Число 7 – основание степени, число 6 – показатель степени, выражение 76 – степень.

Дадим определение степени для любого основания и любого натурального показателя.

Степенью числа а с натуральным показателем n большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Для степени числа а с показателем n принято обозначение: аn.

В определение не включён случай, когда показатель n = 1, так как не имеет смысла говорить о произведении, состоящем из одного множителя. Степень с показателем 1 определяется особо.

Степенью числа а с показателем 1 называется само число а: а1 = а.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие выполняется первым при вычислении значения выражения.

Рассмотрим примеры вычислений значений выражений, содержащих степени.

Пример 1. Найдём значение степеней  (-4)4  (-4)3.

(-4)4 = (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = 256

(-4)3 = (-4) · (-4) · (-4) = -64

Обратим внимание, при возведении в степень отрицательного числа, положительное число получается, если число возводится в чётную степень, если же отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число.

Пример 2. Вычислим (3/4)3.

(3/4)3 = 3/4 · 3/4 · 3/4 = 27/64.

Пример 3. Найдем значение выражения  6 · 33.

Чтобы найти значение этого выражения, достаточно сначала найти значение степени 33, а затем выполнить умножение:

1) 33 = 3 · 3 · 3 = 27

2) 6 · 27 = 162.

Значение степени можно найти с помощью вычислительной техники, а можно воспользоваться таблицей степеней.

Пример 4. Рассмотрим ещё один пример. Найдём значение выражения 0,5 · 482.

0,5 · 482 = 0,5 · 2304 = 1152

Остались вопросы?

I. Произведение степеней с одинаковыми основаниями.

Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями всегда можно представить в виде степени с основанием х.

По определению степени х7 есть произведение семи множителей, каждый из которых равен х, а х9 – произведение девяти таких же множителей. Следовательно, х7 · х9 равно произведению 7 + 9 множителей. Каждый из которых равен х, то есть

х7 · х9 = х7+9 = х16

Получается, если основание степени а – произвольное число, а m и n – любые натуральные числа, то верно равенство:

am · an = am+n

Это равенство выражает одно из свойств степени.

Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Это свойство имеет место и в случаях, когда число множителей больше двух.

Например, в случае трёх множителей имеем:

am · an · ak = (am · an)ak = am+n · ak = am+n+k

При выполнении преобразований удобно пользоваться правилом: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

х6 · х5 = х6+5 = х11

а7 · а-8 = а-1

61.7 · 6- 0.9 = 61.7+( — 0.9) = 61.7 — 0.9 = 60.8

II. Частное степеней с одинаковыми основаниями.

Частное двух степеней с одинаковыми показателями всегда можно представить в виде степени с тем же основанием.

Пример 1. Частное х17 : х5 можно представить виде степени с основанием х:

х17 : х5 = х12,

так как по определению частного и на основании свойства степени  х5 · х12 = х17. Показатель степени частного (число 12) равен разности показателей делимого и делителя (17 – 5):

х17 : х5 = х17-5

8 16 : 8 12 = 816-12 = 84

а-8 : а6 = а -8-6 = а-14

b5 : b-4 = b5-(-4) = b9

91.5 : 9- 0.5 = 91.5 — (- 0.5) = 91.5 + 0.5 =  92

При выполнении преобразований удобно пользоваться правилом: при делении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

а4 : а4 = а4-4 = а0

Значение выражения а0 при всяком а ≠ 0 равно 1.

III. Возведение степени в степень.

Пусть требуется седьмую степень выражения а2 представить в виде степени с основанием а.

По определению степени (а2)7 есть произведение семи множителей, каждый из которых равен а2, то есть

(а2)7 = а2 · а2 · а2 × а2 · а2 · а2 · а2.

Применяя  свойство степени, получим:

а2 · а2 · а2 · а2 · а2 · а2 · а2 = а2+2+2+2+2+2+2 = a2·7.

Получается, (а2)7 = а2·7 = а14.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают:

(аm)n = аmn.

(43)4 = 43·4 = 412

((-2)2)5 = (-2)10 = 1024

Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 2 с ответами в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре в 7 классе «Степень с натуральным показателем. Одночлены. Многочлены. Сложение и вычитание многочленов» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир.

Алгебра 7 класс (УМК Мерзляк) Контрольная работа № 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть все задания

Алгебра 7 класс Контрольная 2

Ответы на контрольную работу

№ 1. Найдите значение выражения 3,5 • 23 – 34. ОТВЕТ: –53.

№ 2. Представьте в виде степени выражение: 1) x6 • x8; 2) x8 : x6; 3) (x6)8; 4) ((х4)3 • х2)/х9. ОТВЕТ: 1) x14;   2) х2;   3) х48;   4) x5.

№ 3. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: 1) –6a4b5 • 5b2 • a6; 2) (–6m3n2)3. ОТВЕТ: 1) –30а10b7;   2) –216m9n6.

№ 4. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: (6×2 – 5x + 9) – (3×2 + x – 7). ОТВЕТ: Зх2 – 6х + 16

№ 5. Вычислите: 1) (513 * 1252)/259; 2) (2/3)6 * (1 1/2)8.Решение:

ОТВЕТ: 1) 5;   2) 2,25.

№ 6. Упростите выражение 128х2у3 • (–1/4 • xy5)3.Решение: ОТВЕТ: –2х5y18.

№ 7. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество: (4×2 – 2xy + y2) – (*) = 3×2 + 2xy.Решение: ОТВЕТ: (*) = х2 – 4хy + y2.

№ 8. Докажите, что значение выражения (11n + 39) – (4n + 11) кратно 7 при любом натуральном значении n.Решение: ОТВЕТ: 7 • (n – 4). Так как один из множителей равен 7, то и все выражение кратно 7.

№ 9. Известно, что 6ab5 = –7. Найдите значение выражения: 1) 18ab5; 2) 6a2b10.

ОТВЕТ: 1) –21.   2) 49/6 = 8 1/6.

Ответы на Вариант 2

№ 1. Найдите значение выражения 1,5 • 24 – 32. ОТВЕТ: 15.

№ 2. Представьте в виде степени выражение: 1) a7 • a4; 2) a7 : a4; 3) (a7)4; 4) (a17 • (a3)3)/a20. ОТВЕТ: 1) a11;   2) а3;  3) а28;   4) a6.

№ 3. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: 1) –3x3y4x5 • 4y3; 2) (–4a6b)3. ОТВЕТ: 1) –12х8y7;   2) –64а18b3.

№ 4. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: (5a2 – 2a – 3) – (2a2 + 2a – 5). ОТВЕТ: За2 – 4а + 2.

№ 5. Вычислите: 1) (495 * 712)/3437; 2) (4/7)6 * (1 3/4)4.ОТВЕТ: 1) 7;   2) 16/49.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 5 в тетради

№ 6. Упростите выражение 81х5у •(–1/3 • ху2)3. ОТВЕТ: –3х8у7.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 6

№ 7. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество: (5×2 – 3xy – y2) – (*) = x2 + 3xy. ОТВЕТ: (*) = 4х2 – 6ху – у2.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 7

№ 8. Докажите, что значение выражения (14n + 19) – (8n – 5) кратно 6 при любом натуральном значении n. ОТВЕТ: 6 • (n + 4). Так как один из множителей равен 6, то все выражение кратно 6.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 8

№ 9. Известно, что 4a3b = –№ 5. Найдите значение выражения: 1) –8a3b; 2) 4a6b2. ОТВЕТ: 1) 10.   2) 6,25.

Смотреть РЕШЕНИЕ задачи № 9

Ответы на Вариант 3

№ 1. Найдите значение выражения 33 – 2,5 • 25. ОТВЕТ: –53.

№ 2. Представьте в виде степени выражение: 1) у9 • y6; 2) y9 : y6; 3) (y9)6; 4) (у19 • (у5)2)/y26. ОТВЕТ: 1) y15;   2) y3;   3) y54;   4) y3.

№ 3. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: 1) –5m4n7 • 2m3n; 2) (–4a5b)2. ОТВЕТ: 1) –10m7n8;   2) 16а10b2.

№ 4. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: (9y2 – 5y + 7) – (3y2 + 2y – 1). ОТВЕТ: 6y2 – 7y + 8.

№ 5. Вычислите: 1) (2165 • 363) / 620;   2) (6/11)9 • (1 5/6)7. ОТВЕТ: 1) 6.   2) 36/121.

№ 6. Упростите выражение 125х3у4 • (–1/5 • x2у)3. ОТВЕТ: –x9y7.

№ 7. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество: (6×2 – 4xy – y2) – (*) = 4×2 + y2. ОТВЕТ: (*) = 2х2 – 4ху – 2у2.

№ 8. Докажите, что значение выражения (13n + 29) – (4n – 7) кратно 9 при любом натуральном значении n. ОТВЕТ: 9 • (n + 4). Так как один из множителей делится на 9, то и все выражение кратно 9.

№ 9. Известно, что 2a2b3 = –3. Найдите значение выражения: 1) 6a2b3; 2) 2a4b6. ОТВЕТ: 1) –9;   2) 4,5.

Ответы на Вариант 4

№ 1. Найдите значение выражения 72 – 0,4 • 53. ОТВЕТ: –1.

№ 2. Представьте в виде степени выражение: 1) a5 • a8; 2) a8 : a5; 3) (a5)8; 4) ((a3)2 • a15)/a17. ОТВЕТ: 1) а13;   2) а3;   3) а40;   4) a4.

№ 3. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: 1) –2a7b • (–3) • a4b9; 2) (–3a3b2)4. ОТВЕТ: 1) 6а11b10;   2) 81а12b8.

№ 4. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: (7b2 – 4b + 2) – (5b2 – 3b + 7). ОТВЕТ: 2b2 – b – 5.

№ 5. Вычислите: 1) (642 * 47)/166; 2) (9/10)6 * (1 1/9)8. ОТВЕТ: 1) 4;   2) 100/81 = 1 19/81.

№ 6. Упростите выражение 216mn4 • (–1/6 • m2n)3. ОТВЕТ: –m7n7.

№ 7. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество: (2×2 – xy – 2y2) – (*) = 4×2 – xy. ОТВЕТ: (*) = –2×2 – 2у2.

№ 8. Докажите, что значение выражения (15n – 2) – (7n – 26) кратно 8 при любом натуральном значении n. ОТВЕТ: 8 • (n + 3). Так как один из множителей равен 8, то и все выражение кратно 8.

№ 9. Известно, что 5x2y3 = –7. Найдите значение выражения: 1) –10x2y3; 2) 5x4y6. ОТВЕТ: 1) 14;   2) 9,8.

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре 7 класс (Мерзляк)

Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 2 в 4-х вариантах. Контрольная работа по математике с ответами 7 класс «Степень с натуральным показателем. Одночлены. Многочлены. Сложение и вычитание многочленов» по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Алгебра 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.